Question

如图，平面直角坐标系中，和为两等腰直角三角形，，C(a,0)(a>0)．设和的外接圆圆心分别为,．

（Ⅰ）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；
（Ⅱ）若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；
（Ⅲ）是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为，若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）存在．
由（Ⅱ）知，圆心N到直线AB距离为(定值)，且AB⊥CD始终成立，
∴当且仅当圆N半径,即a=4时，⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为 ．       
此时， ⊙N的标准方程为． 

（Ⅰ）圆心．
∴圆方程为，
直线CD方程为．           
∵⊙M与直线CD相切,
∴圆心M到直线CD的距离d=,         
化简得： （舍去负值）．
∴直线CD的方程为．          
（Ⅱ）直线AB方程为：，圆心N ．
∴圆心N到直线AB距离为．  
∵直线AB截⊙N的所得弦长为4，
∴．
∴a=±(舍去负值) ．                      
∴⊙N的标准方程为．   
（Ⅲ）存在．
由（Ⅱ）知，圆心N到直线AB距离为(定值)，且AB⊥CD始终成立，
∴当且仅当圆N半径,即a=4时，⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为 ．       
此时， ⊙N的标准方程为．