题目内容
4.已知三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都是$\sqrt{2}$,点A1在底面ABC内的射影O为底面三角形ABC的中心,则三棱锥C1-BCA1的体积${V}_{{C}_{1}-BC{A}_{1}}$=$\frac{2}{3}$.分析 由题意,先求出三棱柱ABC-A1B1C1的体积,再求得${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}CB}$的大小,从而得${V}_{{C}_{1}-BC{A}_{1}}$的大小.
解答 解:连接AO,∵A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心,
∴A1O为三棱锥B-A1B1C1的高,
∵三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为$\sqrt{2}$,
∴AD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
∴A1O=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
∴${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S△ABC•A1O=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×22×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=2,
∴${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}CB}$=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-${V}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{4}{3}$,
∴${V}_{{C}_{1}-BC{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}CB}$=$\frac{2}{3}$.
故答案为:$\frac{2}{3}$.
点评 本题考查割补法求几何体的体积,割补法是求几何体体积的常用方法,必需熟练掌握.

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