题目内容
【题目】设函数.
(Ⅰ)当时,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若函数有两个极值点
,且
,求证:
;
(Ⅲ)设,对于任意
,总存在
,使
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)的递增区间为
,递减区间为
;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)当时,求导数,分别令
和
,即可求出
的单调区间;(Ⅱ)根据函数
由两个极值点
,则
是方程
的两个不相等的实根,结合韦达定理,可得
,构造新函数
,求出其单调性,即可得证;(Ⅲ)根据题意写出
的表达式,求出
在
上的单调性,可得
的最大值,列出不等式,构造新函数
,分类讨论,确定单调性,即可求出
的取值范围.
试题解析:
(Ⅰ)当时,
,当
时
或
,
时
,∴
的递增区间为
,递减区间为
(Ⅱ)函数有两个极值点
,则
是方程
的两个不相等的实根,所以
,
,即
,
,所以
,(
).
令,(
),则
所以在
上单调递减.
,即
.
(Ⅲ)∵
∴
,
∵,
∴,
在
上单调递增,
∴
,
∵
在
上恒成立
令
,
,则
在
上恒成立.
当时,
,
在
上单调递减,
,不合题意;
当时,
,
,
(1),即
时,
在
上单调递减,存在
不合题意;
(2),即
时,
在
上单调递增,
,满足题意.
综上,实数的取值范围是
.
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