题目内容
【题目】在直角坐标平面上的一列点
,简记为
.若由
构成的数列
满足
,其中
为方向与
轴正方向相同的单位向量,则称
为
点列.
(1)判断,是否为
点列,并说明理由;
(2)若为
点列,且点
在点
的右上方.任取其中连续三点
,判断
的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形),并予以证明;
(3)若为
点列,正整数
,满足
,求证:
.
【答案】(1)是,理由详见解析;(2)钝角三角形,证明详见解析;(3)详见解析.
【解析】
(1)根据新定义表示出数列的通项公式,利用作差法比较
的大小即可判断;
(2)由为
点列得出
的关系,利用两点间距离公式表示出三角形的各边长,可以分析得出最大角,结合余弦定理即可判断;
(3)利用累加的方法可以得出即可证明结论.
(1) 为
点列.理由如下:
由题意可知,,所以
,
,即数列
满足
,所以
为
点列.
(2) 为钝角三角形.理由如下:
由题意可知,,所以
,因为
为
点列,所以
,又点
在点
的右上方,所以
所以对其中连续三点
,都有
又
所以
,所以
为
最大角,由余弦定理得
,故
为钝角,所以
为钝角三角形.
(3)证明:由(2)知,因为为
点列,所以
.又正整数
,满足
,所以不妨设
,则
相加可得
同理可得
,即
又
,所以
.
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