题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线.
(1)过的左顶点引
的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;
(2)设斜率为1的直线l交于P,Q两点,若l与圆
相切,求证:
;
(3)设椭圆,若M,N分别是
,
上的动点,且
,求证:O到直线MN的距离是定值.
【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)根据题意,写出双曲线的左顶点,求出直线的方程,联立求得三角形顶点坐标,之后利用三角形的面积公式求得结果.
(2)设直线的方程为
,通过直线
与已知圆相切,得到
,通过求解
.证明
.
(3)当直线垂直
轴时,直接求出
到直线
的距离为
.当直线
不垂直
轴时,设直线
的方程为:
,(显然
),推出直线
的方程为
,求出
,
,设
到直线
的距离为
,通过
,求出
.推出
到直线
的距离是定值.
(1)根据题意可得的左顶点为
,
设直线方程为,
与另一条渐近线联立求得交点坐标为
,
所以对应三角形的面积为;
(2)设直线的方程是
,因直线与已知圆相切,
故,即
,
由得
,
设,
,则
,
,
则,
故;
(3)当直线ON垂直于x轴时,,
,
则O到直线MN的距离为.
当直线不垂直于
轴时,
设直线的方程为
(显然
),
则直线的方程为
.
由与椭圆方程联立,
得,
,所以
.
同理.
设O到直线MN的距离为d,
则由,
得.
综上,O到直线MN的距离是定值.
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