Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=2，AD=3，CD=1，点E、F分别在AD、BC上，且AE=

1

3

AD，BF=

1

3

BC．现将此梯形沿EF折至使AD=

3

的位置（如图2）．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线CE与平面BCF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）欲证AE⊥平面ABCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AE与平面ABCD内两相交直线垂直，而EA⊥AD，EA⊥AB，AB∩AD=A，满足定理条件；
（II）以点A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，建立空间直角坐标系，然后先求出平面BCF的法向量

n

，记直线CE与平面BCF所成的角为α，利用公式求出直线CE与平面BCF所成角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）证明：由题意：AE=1，DE=2，AD=

3

，
∴∠EAD=90°，即EA⊥AD，（2分）
又EA⊥AB，AB∩AD=A，∴AE⊥平面ABCD．（4分）
（Ⅱ）解：以点A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
则B(0，2，0)，C(

3

，1，0)，E(0，0，1)，F(0，

5

3

，1)，

BF

=(0，-

1

3

，1)，

BC

=(

3

，-1，0)，

CE

=(-

3

，-1，1)，（6分）
设平面BCF的法向量

n

=(1，y，z)，
由

BF • n =0 BC • n =0

得

n

=(1，

3

，

3

3

)．（9分）
记直线CE与平面BCF所成的角为α，
则sinα=

| CE • n |

| CE |•| n |

=

5 3 3

13×3×5 3

=

65

13

．
所以，直线CE与平面BCF所成角的正弦值为

65

13

．（12分）

点评：本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．