Question

18．已知定义在[-1.1]上的函数f（x）=-2|x|+1，设f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，n∈N_*，若关于x的方程f₃（x）-mx+m=0有5个实数根，则实数m的取值范围是$（{\frac{2}{3}，1}）∪\left\{{-\frac{4}{5}}\right\}$．

Answer 1

分析 可化为函数f₃（x）与函数y=m（x-1）有5个不同的交点，化简f₃（x）=f（f₂（x））=f（f（f（x）））=-2|-2|-2|x|+1|+1|+1，作图求解即可．

解答 解：∵关于x的方程f₃（x）-mx+m=0有5个实数根，
∴函数f₃（x）与函数y=m（x-1）有5个不同的交点，
又∵f₃（x）=f（f₂（x））=f（f（f（x）））=-2|-2|-2|x|+1|+1|+1，
作函数f₃（x）与函数y=m（x-1）的图象如下，

当直线过点A（-$\frac{1}{4}$，1）时，k=$\frac{1-0}{-\frac{1}{4}-1}$=-$\frac{4}{5}$；
当直线过点B（-$\frac{1}{2}$，-1）时，k=$\frac{0-（-1）}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{2}{3}$；
当直线过点C（0，-1）时，k=$\frac{0-（-1）}{1-0}$=1；
结合图象可得，
实数m的取值范围是$（{\frac{2}{3}，1}）∪\left\{{-\frac{4}{5}}\right\}$．
故答案为：$（{\frac{2}{3}，1}）∪\left\{{-\frac{4}{5}}\right\}$．

点评 本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．