Question

16．已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）最值     
（3）求函数f（x）的递增区间．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-1$，由周期公式可求最小正周期；
（2）由（1）及正弦函数的性质可得sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，从而可求f（x）的最值．
（3）由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z即可解得函数f（x）的递增区间．

解答 本题满分12分，化简正确得（4分），（1）（3）问（2分），第二问（4分）
解：f（x）=2sinx（sinx+cosx）
=$2•\frac{1-cos2x}{2}+sin2x$…．（2分）   公式对一个给（1分）
=1-cos2x+sin2x…（1分）
=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-1$…（1分）
（1）T=$\frac{2π}{2}$=π
（2）∵由正弦函数的性质可得：sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
∴f（x）的最大值是$\sqrt{2}-1$，最小值$-\sqrt{2}-1$
（3）由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的递增区间是：$[kπ-\frac{π}{8}，kπ+\frac{3}{8}π]，k∈Z$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基础题．