题目内容
17.若函数f(x)=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是[-2,1).分析 根据题意求出函数的导数,因为函数 f(x)在区间(a,6-a2)上有最小值,所以f′(x)先小于0然后再大于0,所以结合二次函数的性质可得:a<1<5-a2,进而求出正确的答案.
解答 解:由题意可得:函数 f(x)=x3-3x,
所以f′(x)=3x2-3.
令f′(x)=3x2-3=0可得,x=±1;
因为函数 f(x)在区间(a,6-a2)上有最小值,其最小值为f(1),
所以函数f(x)在区间(a,6-a2)内先减再增,即f′(x)先小于0然后再大于0,
所以结合二次函数的性质可得:a≤1<6-a2,
且f(a)=a3-3a≥f(1)=-2,且6-a2-a>0,
联立解得:-2≤a<1.
故答案为:[-2,1).
点评 解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用,即求函数的单调区间与函数的最值,并且进行正确的运算.
练习册系列答案
相关题目
7.若角α的终边与单位圆相交于点($\frac{\sqrt{2}}{2}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$),则sinα的值为( )
A. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B. | -$\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | -1 |
9.设ω>0,函数f(x)=2tanωx的最小正周期为T,若f(x)是区间$(-\frac{π}{3},\frac{π}{4})$上的单调函数,则T的取值范围是[$\frac{2π}{3}$,+∞).
7.直线y=2x与曲线y=x3围成的封闭图形的面积是( )
A. | 1 | B. | 2 | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | 4 |