题目内容

数列{an}中,a1=1,an+1=
1
2
a2n
-an+c
(c>1为常数,n=1,2,3,…),且a3-a2=
1
8
.

(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)①证明:an<an+1
②猜测数列{an}是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明);
(Ⅲ)比较
n
k=1
1
ak
40
39
an+1
的大小,并加以证明.
(Ⅰ)依题意,a2=
1
2
a21
-a1+c=c-
1
2
a3=
1
2
a22
-a2+c=
1
2
(c-
1
2
)2+
1
2
.

a3-a2=
1
8
,得
1
2
(c-
1
2
)2+
1
2
-(c-
1
2
)=
1
8

解得c=2,或c=1(舍去).
(Ⅱ)①证明:因为an+1-an=
1
2
a2n
-2an+2=
1
2
(an-2)2≥0

当且仅当an=2时,an+1=an
因为a1=1,所以an+1-an>0,即an<an+1(n=1,2,3,).
②数列{an}有极限,且
lim
n→∞
an=2

(Ⅲ)由an+1=
1
2
a2n
-an+2
,可得an(an+1-an)=(an-2)(an+1-2),
从而
1
an
=
1
an-2
-
1
an+1-2

因为a1=1,所以
n
k=1
1
ak
=
n
k=1
(
1
ak-2
-
1
ak+1-2
)=
1
a1-2
-
1
an+1-2
=
1
2-an+1
-1.

所以
n
k=1
1
ak
-
40
39
an+1=
1
2-an+1
-1-
40
39
an+1=
40
a2n+1
-41an+1-39
39•(2-an+1)
=
(5an+1+3)(8an+1-13)
39•(2-an+1)
.

因为a1=1,由(Ⅱ)①得an≥1(n∈N*).(1)
下面证明:对于任意n∈N*,有an<2成立.
当n=1时,由a1=1,显然结论成立.
假设结论对n=k(k≥1)时成立,即ak<2.
因为an+1=
1
2
a2n
-an+2=
1
2
(an-1)2+
3
2
,且函数y=
1
2
(x-1)2+
3
2
在x≥1时单调递增,
所以ak+1
1
2
(2-1)2+
3
2
=2

即当n=k+1时,结论也成立.于是,当n∈N*时,有an<2成立.(2)
根据(1)、(2)得1≤an<2.
由a1=1及an+1=
1
2
a2n
-an+2
,经计算可得a2=
3
2
a3=
13
8
.

所以,当n=1时,
1
a1
40
39
a2
;当n=2时,
1
a1
+
1
a2
=
40
39
a3

当n≥3时,由
13
8
an+1<2
,得
n
k=1
1
ak
-
40
39
an+1=
(5an+1+3)(8an+1-13)
39•(2-an+1)
>0⇒
n
k=1
1
ak
40
39
an+1
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