题目内容
数列{an}中,a1=1,an+1=
-an+c(c>1为常数,n=1,2,3,…),且a3-a2=
.
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)①证明:an<an+1;
②猜测数列{an}是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明);
(Ⅲ)比较
与
an+1的大小,并加以证明.
1 |
2 |
a | 2n |
1 |
8 |
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)①证明:an<an+1;
②猜测数列{an}是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明);
(Ⅲ)比较
n |
k=1 |
1 |
ak |
40 |
39 |
(Ⅰ)依题意,a2=
-a1+c=c-
,a3=
-a2+c=
(c-
)2+
.
由a3-a2=
,得
(c-
)2+
-(c-
)=
,
解得c=2,或c=1(舍去).
(Ⅱ)①证明:因为an+1-an=
-2an+2=
(an-2)2≥0,
当且仅当an=2时,an+1=an.
因为a1=1,所以an+1-an>0,即an<an+1(n=1,2,3,).
②数列{an}有极限,且
an=2.
(Ⅲ)由an+1=
-an+2,可得an(an+1-an)=(an-2)(an+1-2),
从而
=
-
.
因为a1=1,所以
=
(
-
)=
-
=
-1.
所以
-
an+1=
-1-
an+1=
=
.
因为a1=1,由(Ⅱ)①得an≥1(n∈N*).(1)
下面证明:对于任意n∈N*,有an<2成立.
当n=1时,由a1=1,显然结论成立.
假设结论对n=k(k≥1)时成立,即ak<2.
因为an+1=
-an+2=
(an-1)2+
,且函数y=
(x-1)2+
在x≥1时单调递增,
所以ak+1<
(2-1)2+
=2.
即当n=k+1时,结论也成立.于是,当n∈N*时,有an<2成立.(2)
根据(1)、(2)得1≤an<2.
由a1=1及an+1=
-an+2,经计算可得a2=
,a3=
.
所以,当n=1时,
<
a2;当n=2时,
+
=
a3;
当n≥3时,由
<an+1<2,得
-
an+1=
>0⇒
>
an+1.
1 |
2 |
a | 21 |
1 |
2 |
1 |
2 |
a | 22 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
由a3-a2=
1 |
8 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
8 |
解得c=2,或c=1(舍去).
(Ⅱ)①证明:因为an+1-an=
1 |
2 |
a | 2n |
1 |
2 |
当且仅当an=2时,an+1=an.
因为a1=1,所以an+1-an>0,即an<an+1(n=1,2,3,).
②数列{an}有极限,且
lim |
n→∞ |
(Ⅲ)由an+1=
1 |
2 |
a | 2n |
从而
1 |
an |
1 |
an-2 |
1 |
an+1-2 |
因为a1=1,所以
n |
k=1 |
1 |
ak |
n |
k=1 |
1 |
ak-2 |
1 |
ak+1-2 |
1 |
a1-2 |
1 |
an+1-2 |
1 |
2-an+1 |
所以
n |
k=1 |
1 |
ak |
40 |
39 |
1 |
2-an+1 |
40 |
39 |
40
| ||
39•(2-an+1) |
(5an+1+3)(8an+1-13) |
39•(2-an+1) |
因为a1=1,由(Ⅱ)①得an≥1(n∈N*).(1)
下面证明:对于任意n∈N*,有an<2成立.
当n=1时,由a1=1,显然结论成立.
假设结论对n=k(k≥1)时成立,即ak<2.
因为an+1=
1 |
2 |
a | 2n |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
所以ak+1<
1 |
2 |
3 |
2 |
即当n=k+1时,结论也成立.于是,当n∈N*时,有an<2成立.(2)
根据(1)、(2)得1≤an<2.
由a1=1及an+1=
1 |
2 |
a | 2n |
3 |
2 |
13 |
8 |
所以,当n=1时,
1 |
a1 |
40 |
39 |
1 |
a1 |
1 |
a2 |
40 |
39 |
当n≥3时,由
13 |
8 |
n |
k=1 |
1 |
ak |
40 |
39 |
(5an+1+3)(8an+1-13) |
39•(2-an+1) |
n |
k=1 |
1 |
ak |
40 |
39 |
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