题目内容
5．
用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点A，B，抛物线与梯形下底的两个焊接点为C，D．已知梯形的高是40厘米，C、D两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB的长度；
（2）求梯形外框的用料长度．
（注：细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）
分析 （1）以O为原点，梯形的上底所在直线为x轴，建立直角坐标系，设梯形下底与y轴交于点M，抛物线的方程为：x2=2py（p＜0），利用D（20，-40），求出p，得到抛物线方程，即可求解横梁AB的长度．
（2）说明梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点设${l_{RQ}}：y+20=k（{x-10\sqrt{2}}）（{k＜0}）$，联立在与抛物线方程，通过相切关系，求出直线的斜率，然后求解制作梯形外框的用料长度．
解答 
解：（1）如图，以O为原点，梯形的上底所在直线为x轴，建立直角坐标系，
设梯形下底与y轴交于点M，抛物线的方程为：x2=2py（p＜0），
由题意D（20，-40），得p=-5，x2=-10y…3’，
取$y=-20⇒x=±10\sqrt{2}$，
即$A（{-10\sqrt{2}，-20}），B（{10\sqrt{2}，-20}）$，
$|{AB}|=20\sqrt{2}≈28（{cm}）$
答：横梁AB的长度约为28cm．…6’
（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点
设${l_{RQ}}：y+20=k（{x-10\sqrt{2}}）（{k＜0}）$…7’
$\left\{{\begin{array}{l}{y+20=k（{x-10\sqrt{2}}）}\\{{x^2}=-10y}\end{array}}\right.⇒{x^2}+10kx-100（{2+\sqrt{2}k}）=0$，
则$△=100{k^2}+400（{2+\sqrt{2}k}）=0⇒k=-2\sqrt{2}$，即${l_{RQ}}：y=-2\sqrt{2}x+20$…10’
得$Q（{5\sqrt{2}，0}），R（{15\sqrt{2}，-40}）$$⇒|{OQ}|=5\sqrt{2}，|{MR}|=15\sqrt{2}，|{RQ}|=30\sqrt{2}$，
梯形周长为$2（{5\sqrt{2}+15\sqrt{2}+30\sqrt{2}}）=100\sqrt{2}≈141（{cm}）$．
答：制作梯形外框的用料长度约为141cm…14’
点评 本题考查抛物线方程的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．
阅读快车系列答案| A． | $\frac{27}{2}$ | B． | 6 | C． | $\frac{9}{2}$ | D． | $\frac{7}{2}$ |
如图所示：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1，则平面A1B1C与平面ABC所成的二面角的大小为$\frac{π}{4}$．| A． | x1＞x2 | B． | x1＜x2 | C． | |x1|＜|x2| | D． | |x1|＞|x2| |