题目内容
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知点,,
若点C满足,点C的轨迹与抛物线交于A、B两点.
(I)求证:;
(II)在轴正半轴上是否存在一定点,使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
若点C满足,点C的轨迹与抛物线交于A、B两点.
(I)求证:;
(II)在轴正半轴上是否存在一定点,使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
(I)证明见解析
(II)存在.
(II)存在.
(I)设,由知,点C的轨迹为. 2分
由消y得:.
设,,则,,
所以,
所以,于是.
(II)假设存在过点P的弦EF符合题意,则此弦的斜率不为零,设此弦所在直线的方程为.
由消x得:.设,,
则,.
因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍,
所以即,
所以得,所以存在.
由消y得:.
设,,则,,
所以,
所以,于是.
(II)假设存在过点P的弦EF符合题意,则此弦的斜率不为零,设此弦所在直线的方程为.
由消x得:.设,,
则,.
因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍,
所以即,
所以得,所以存在.
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