Question

2．数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1a_n-2a_n+1+1=0（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差数列；
（Ⅱ）求证：$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$＞n+2-2$\sqrt{n+2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$化简、计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知a_n=$\frac{n}{n+1}$，利用数学归纳法证明即可．

解答 证明：（Ⅰ）∵a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，
∴a_n+1a_n+1=2a_n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{（a}_{n}-1）-（{a}_{n+1}-1）}{{a}_{n+1}{a}_{n}-{a}_{n}-{a}_{n+1}+1}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{2{a}_{n+1}-{a}_{n}-{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=-1，
又∵a₁=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}-1}$=-2，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以-2为首项、-1为公差的等差数列；
（Ⅱ）由（I）可知$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-2+（n-1）•（-1）=-n-1，
∴a_n=1+$\frac{1}{-n-1}$=$\frac{n}{n+1}$，
下面用数学归纳法来证明：$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$＞n+2-2$\sqrt{n+2}$．
①当n=1时，左边=$\sqrt{{a}_{1}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，右边=1+2-2$\sqrt{1+2}$=3-2$\sqrt{3}$＜0，结论成立；
②假设当n=k时，结论成立，即：$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{k}}$＞k+2-2$\sqrt{k+2}$，
则当n=k+1时，在上式两边同时加上$\sqrt{\frac{k+1}{k+2}}$，得：
$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{k}}$+$\sqrt{\frac{k+1}{k+2}}$＞k+2-2$\sqrt{k+2}$+$\sqrt{\frac{k+1}{k+2}}$，
下面用分析法证明：k+2-2$\sqrt{k+2}$+$\sqrt{\frac{k+1}{k+2}}$＞（k+1）+2-2$\sqrt{k+3}$，
即证：-2$\sqrt{k+2}$+$\sqrt{\frac{k+1}{k+2}}$＞1-2$\sqrt{k+3}$，
即证：2$\sqrt{k+3}$-2$\sqrt{k+2}$+$\sqrt{\frac{k+1}{k+2}}$＞1，
即：2$\sqrt{（k+3）（k+2）}$-2（k+2）+$\sqrt{k+1}$＞$\sqrt{k+2}$，
即：2$\sqrt{{k}^{2}+5k+6}$+$\sqrt{k+1}$＞2k+4+$\sqrt{k+2}$，
而2$\sqrt{{k}^{2}+5k+6}$+$\sqrt{k+1}$＞2$\sqrt{（k+\frac{9}{4}）^{2}}$+$\sqrt{k+1}$
=2k+$\frac{9}{2}$+$\sqrt{k+1}$
=（2k+4）+（$\frac{1}{2}$+$\sqrt{k+1}$）
=（2k+4）+$\frac{1+2\sqrt{k+1}}{2}$
=（2k+4）+$\frac{\sqrt{（1+2\sqrt{k+1}）^{2}}}{2}$
=（2k+4）+$\frac{\sqrt{1+4k+4+4\sqrt{k+1}}}{2}$
＞（2k+4）+$\frac{\sqrt{4k+8}}{2}$
=2k+4+$\sqrt{k+2}$，
由分析法原理可知2$\sqrt{{k}^{2}+5k+6}$+$\sqrt{k+1}$＞2k+4+$\sqrt{k+2}$，
即当n=k+1时，结论也成立；
综上所述，$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$＞n+2-2$\sqrt{n+2}$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查等差数列的判定，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．