Question

14．①1∉S；②若a∈S，则$\frac{1}{1-a}$∈S．
（1）求证：若a∈S，则1-$\frac{1}{a}$∈S；
（2）若2∈S，则在S中必含有其他的两个数，试求出这两个数；
（3）集合S能否是单元素集？若能，把它求出来；若不能，说明理由；
（4）求证：集合S中至少有三个不同的元素．

Answer 1

分析 利用两个条件：①1∉S；②若a∈S，则$\frac{1}{1-a}$∈S，
（1）将$\frac{1}{1-a}$代入可证得：1-$\frac{1}{a}$∈S；
（2）将a=2代入，可求出另外的两个元素；
（3）判断方程a=$\frac{1}{1-a}$-$\frac{1}{a}$的解的个数，可判断集合S能否是单元素集；
（4）结合（1）（3）的结论，再判断a=1-$\frac{1}{a}$的解的个数，可证得结论．

解答 证明：（1）若a∈S，$\frac{1}{1-a}$∈S，则$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=1-$\frac{1}{a}$∈S，
解：（2）若2∈S，则$\frac{1}{1-2}$=-1∈S，则$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$∈S，
所以另外两个数是-1和$\frac{1}{2}$S．
解：（3）集合S不能是单元素集，理由如下：
若集合S能是单元素集的话则有$\frac{1}{1-a}$=a，即a²-a+1=0，
这与判别式△=1-4=-3＜0对应方程无解矛盾，
故集合S不能是单元素集，
证明：（4）由（3）得集合S不能是单元素集，
由（1）得：1-$\frac{1}{a}$∈S；
令1-$\frac{1}{a}$=a，即a²-a+1=0，
此时判别式△=1-4=-3＜0，方程无解，
同理1-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{1-a}$也无解，
故集合S中至少有三个不同的元素：a，$\frac{1}{1-a}$，1-$\frac{1}{a}$．

点评 本题主要考查集合元素和集合关系的判断，考查学生的推理和分析能力．