题目内容
已知椭圆
.
（1）我们知道圆具有性质：若
为圆O：
的弦AB的中点，则直线AB的斜率
与直线OE的斜率
的乘积
为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆
的类似性质，并加以证明；
（2）如图（1），点B为在第一象限中的任意一点，过B作
的切线
，分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值；
（3）如图（2），过椭圆
上任意一点
作的两条切线PM和PN，切点分别为M，N.当点P在椭圆
上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
图（1） 图（2）
.（1）我们知道圆具有性质：若
为圆O：的弦AB的中点，则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆的类似性质，并加以证明；（2）如图（1），点B为
在第一象限中的任意一点，过B作的切线，分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值；（3）如图（2），过椭圆
上任意一点作的两条切线PM和PN，切点分别为M，N.当点P在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 图（1） 图（2）
（1）见解析 （2）
（3）存在，
（3）存在，（1）若A，B为椭圆上相异的两点，
为A，B中点，当直线AB的斜率与直线OP的斜率
的乘积
必为定值;(1分)
证1：设
，则
（2）-（1）得：
，(2分)
仅考虑斜率存在的情况
(4分)
证2：设AB：
与椭圆联立得：
， (2分)
所以
(4分)
（2）（ⅰ）当点A无限趋近于点B时，割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率
，
即，
所以点B处的切线QB：
(6分)
令
，
，令
，所以(8分)
又点B在椭圆的第一象限上，所以
，当且仅当
所以当
时，三角形OCD的面积的最小值为
---10分（没写等号成立扣1分）
（ⅱ）设
，由（ⅰ）知点
处的切线为：
又
过点，所以
，又可理解为点在直线
上同理点
在直线上，所以直线MN的方程为：
(12分)
所以原点O到直线MN的距离
，所以直线MN始终与圆相切. (14分)
上相异的两点，为A，B中点，当直线AB的斜率与直线OP的斜率的乘积必为定值;(1分)证1：设
，则（2）-（1）得：
，(2分)仅考虑斜率存在的情况(4分)证2：设AB：
与椭圆联立得：， (2分)所以
(4分)（2）（ⅰ）当点A无限趋近于点B时，割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率
，即
，所以点B处的切线QB：
(6分)令
，，令，所以(8分)又点B在椭圆的第一象限上，所以
，当且仅当所以当
时，三角形OCD的面积的最小值为---10分（没写等号成立扣1分）（ⅱ）设
，由（ⅰ）知点处的切线为：又
过点，所以，又可理解为点在直线上同理点在直线上，所以直线MN的方程为： (12分)所以原点O到直线MN的距离
，所以直线MN始终与圆相切. (14分)
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的焦点在x轴上，左右顶点分别为
，上顶点为B，抛物线
分别以A,B为焦点，其顶点均为坐标原点O，
与
相交于直线
上一点P.
与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同的两点M,N，已知点
，求
的最小值．
的离心率
，
.
是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交
轴于点N，直线AD交BP于点M。设BP的斜率为
，MN的斜率为
.证明：
为定值。
的离心率为
，
轴被曲线
截得的线段长等于
的长半轴长。
的方程；
轴的交点为M，过坐标原点O的直线
与
；
.问：是否存在直线
=
?请说明理由。
，两焦点为
、
，
是坐标原点，不经过原点的直线
与该椭圆交于两个不同点
、
，且直线
、
、
的斜率依次成等比数列.
的斜率
；
面积的范围.
的两顶点为
，且左焦点为F，
是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率
为 （ ）
的一个焦点为
，若椭圆上存在一个点
，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段
相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )
是椭圆
上两点，点
关于
轴的对称点为
（异于点
），若直线
分别交
，则
（ ）