题目内容
【题目】表面积为
的球面上有四点S、A、B、C，且
是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为1，若平面
平面ABC，则三棱锥
体积的最大值为______．
【答案】
【解析】
由球的表面积求出半径OB，再计算
的面积为定值，由此得出S在AB的中垂线上且位于球心同侧时，棱锥
体积的最大，结合图形求出点S到平面ABC的距离，由此求得棱锥体积的最大值．
过球心O作平面ABC的垂线段OD，垂足为D，过D作
，垂足为E，
连接BD，则
，
，如图所示；
则球的表面积为
，解得半径
；
又
，
；
又是等边三角形，
是的中心，
，
；
；
由球的对称性可知当S在AB的中垂线上时，S到平面ABC的距离最大，
过O作平面SAB的垂线段SH，垂足为H，
平面
平面ABC，，平面
平面
，
平面ABC，
平面SAB；又
平面SAB，
，
四边形ODEH是矩形，
，
，
，
，
；
则三棱锥面积的最大值为：
．
故答案为：
．
练习册系列答案
相关题目
【题目】某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：
空气质量指数 |
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空气质量等级 | 1级优 | 2级良 | 3级轻度污染 | 4级中度污染 | 5级重度污染 | 6级严重污染 |
该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.
（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？
（2）从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率；
（3）从这10天的数据中任取三天数据，记
表示抽取空气质量良的天数，求的分布列和期望.
