题目内容
【题目】已知函数f(x)=sin2x+2 sinxcosx+sin(x+ )sin(x﹣ ),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间;
(2)若x=x0(0≤x0≤ )为f(x)的一个零点,求cos2x0的值.
【答案】
(1)解: f(x)=sin2x+ sin2x+ (sin2x﹣cos2x)= + sin2x﹣ cos2x,
= sin2x﹣cos2x+ =2sin(2x﹣ )+ ,
∴f(x)的周期为π,由﹣ +2kπ≤2x﹣ ≤ +2kπ得:﹣ +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为[﹣ +kπ, +kπ]k∈Z.
(2)解:由f(x0)=2sin(2x0﹣ )+ =0,得sin(2x0﹣ )=﹣ <0,
又由0≤x0≤ 得﹣ ≤2x0﹣ ≤ ,
∴﹣ ≤2x0﹣ ≤0,故cos(2x0﹣ )= ,
此时cos2x0=cos[(2x0﹣ )+ ]=cos(2x0﹣ )cos ﹣sin(2x0﹣ )sin = × ﹣(﹣ )× =
【解析】(1)利用三角恒等变换可求得f(x)=2sin(2x﹣ )+ ,利用正弦函数的周期性与单调性即可求得f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)由f(x0)=2sin(2x0﹣ )+ =0,得sin(2x0﹣ )=﹣ <0,0≤x0≤ ,可得﹣ ≤2x0﹣ ≤0,于是可求得cos(2x0﹣ )的值,利用两角和的余弦即可求得答案.