题目内容

【题目】已知函数f(x)=x2﹣2x﹣8,g(x)=2x2﹣4x﹣16,
(1)求不等式g(x)<0的解集;
(2)若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15成立,求实数m的取值范围.

【答案】
(1)解:由g(x)=2x2﹣4x﹣16<0,得x2﹣2x﹣8<0,

即(x+2)(x﹣4)<0,解得﹣2<x<4.

所以不等式g(x)<0的解集为{x|﹣2<x<4}


(2)解:因为f(x)=x2﹣2x﹣8,

当x>2时,f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15成立,

则x2﹣2x﹣8≥(m+2)x﹣m﹣15成立,

即x2﹣4x+7≥m(x﹣1).

所以对一切x>2,均有不等式 成立.

(当x=3时等号成立).

所以实数m的取值范围是(﹣∞,2]


【解析】(1)直接因式分解后求解不等式的解集;(2)把函数f(x)的解析式代入f(x)≥(m+2)x﹣m﹣15,分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围.

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