Question

【题目】已知函数，．

（Ⅰ）判断函数在区间上零点的个数；

（Ⅱ）设函数在区间上的极值点从小到大分别为．证明：

（i）；

（ii）对一切成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）两个；（Ⅱ）（i）详见解析；（ii）详见解析．

【解析】

（Ⅰ）分别在、和三段区间内利用导数求得函数的单调性，结合零点存在定理确定零点个数；

（Ⅱ）（i）根据（Ⅰ）中结论可知，，化简为，根据单调性可证得结论；

（ii）由（i）的方法可证得，分别在为奇数和为偶数两种情况下，采取分组求和的方式，相邻两项配对，即可证得结论.

（Ⅰ），

当时，，，，无零点；

当时，，，单调递减，

又，，有唯一零点；

当时，，，

又，，有唯一零点；

综上所述：在有两个零点．

（Ⅱ）（i），

由（Ⅰ）知：在无极值点；在有极小值点，即为，在有极大值点即为，

又，，，，

可知，，

同理在有极小值点，…，在有极值点．

由得：，，

，，，

而，，故有，

在是增函数，，

即；

（ii）由（i）知：，，

，

由在递增得：，

当为偶数时，不妨设，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，

即，结论成立；

当为奇数时，设，

，，

从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，

即，结论也成立．

综上，对一切，成立．