Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于、两点，的周长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）．（2）．

【解析】试题分析：由离心率为得c，由的周长为，可求得值，进而求得的值；

（2）设点，，，易判断直线存在斜率，设直线的方程为，与椭圆联立方程组得，由四边形为平行四边形，得，根据韦达定理可把P点的坐标用K表示出来，再带入椭圆即可求得的值.

试题解析：

（1）∵椭圆离心率为，∴，∴，

又周长为，∴，解得，∴，，

∴椭圆的标准方程为．

（2）设点，，，

当直线斜率不存在时，这样的直线不满足题意，

∴设直线的斜率为，则直线的方程为，

将直线的方程代入椭圆方程，整理得，

∴，

故，

∵四边形为平行四边形，∴，

从而，，

又在椭圆上，∴，

整理得：，即，解得，

故所求直线的方程为：．