题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)已知,
(其中
是自然对数的底数), 求证:
.
【答案】(1) 增区间是(0,e), 减区间是;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)函数的定义域为,求解导函数可得
,
利用导函数与原函数的单调性的关系可得f(x)的增区间是(0,e), 减区间是.
(2)利用分析法,由于,则两边取对数,原问题等价于证明:
,即
.结合(1)中函数的单调性可得该不等式明显成立,故原命题得证.
试题解析:
(1)函数的定义域为,且
,
∴当时,
, ∴函数
在
上是单调递减.
当0<x<e时,, ∴函数
在(0,e)上是单调递增.
∴f(x)的增区间是(0,e), 减区间是.
(2)∵∴要证:
,
只需两边取对数证明:.
只需证. (∵
),
由(1)得函数在
上是单调递减.
∴当时,有
,即
. 原命题得证.
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