Question

18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=2A，且a，b，c成公差为1的等差数列，
（1）求a的值；
（2）求sin（2A+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用正弦定理求出cosA=$\frac{a+2}{2a}$，利用余弦定理求出cosA=$\frac{a+5}{2（a+2）}$，由此能求出a．
（2）分别求出a，b，c的值，从而求出cosA，sinA，sin2A，cos2A的值，由此利用正弦加法定理能求出sin（2A+$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=2A，且a，b，c成公差为1的等差数列，
∴a=a，b=a+1，c=a+2，$\frac{a}{sinA}=\frac{a+2}{sin2A}$=$\frac{a+2}{2sinAcosA}$，
解得cosA=$\frac{a+2}{2a}$．
由余弦定理得 a²=（a+2）²+（a+1）²-2（a+2）（a+1）•cosA，
解得 cosA=$\frac{a+5}{2（a+2）}$．
∴$\frac{a+2}{2a}=\frac{a+5}{2（a+2）}$，
解得a=4．
（2）由（1）得b=5，c=6，cosA=$\frac{3}{4}$，∴sinA=$\sqrt{1-（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴sin2A=2sinAcosA=$2×\frac{3}{4}×\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
cos2A=cosC=$\frac{16+25-36}{2×4×5}$=$\frac{1}{8}$，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=sin2Acos$\frac{π}{6}$+cos2Asin$\frac{π}{6}$
=$\frac{3\sqrt{7}}{8}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{8}×\frac{1}{2}$
=$\frac{3\sqrt{21}+1}{16}$．

点评 本题考查三角形边长的求法，考查两角和正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理和正弦加法定理的合理运用．