Question

18．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，又tanA=$\frac{1}{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC最短边的长为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求△ABC面积．

Answer 1

分析 （1）由题意和同角三角函数基本关系可得tanB=$\frac{1}{3}$或tanB=-$\frac{1}{3}$，分别可得tanC的值，注意验证符合三角形内角和定理方可；
（2）易得c为最大边，b为最小边，解三角形可得AD和BC，代入面积公式S=$\frac{1}{2}$BC•AD计算可得．

解答 解：（1）∵sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，∴cosB=±$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴tanB=$\frac{1}{3}$或tanB=-$\frac{1}{3}$；
当tanB=$\frac{1}{3}$时，tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-1；
当tanB=-$\frac{1}{3}$时，tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{1}{7}$，
此时BC均为钝角，与三角形内角和定理矛盾，应舍去；
∴tanC=-1；
（2）∵tanA＞tanB＞0，而tanC=-1，∴C=135°
∴c为最大边，b为最小边，
延长BC作BC的高AD交BC于D点，可得BC上的高AD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$sin135°=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴AB=$\frac{AD}{sinB}$=1，BD=ABcosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，CD=-ACcosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
∴BC=BD-CD=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{10}$

点评 本题考查三角形的基本运算，涉及两角和与差的三角函数公式以及三角形的边角关系，属中档题．