题目内容
直线l：y=m（m为实常数）与曲线E：y=|lnx|的两个交点A、B的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，曲线E在点A、B处的切线PA、PB与y轴分别交于点M、N．有下面5个结论：
①|
|=2；
②三角形PAB可能为等腰三角形；
③若直线l与y轴的交点为Q，则|PQ|=1；
④若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围为（0，1）；
⑤当x1是函数g（x）=x2+lnx的零点时，|
|（0为坐标原点）取得最小值．
其中正确结论有 ．（写出所有正确结论的序号）
①|
| MN |
②三角形PAB可能为等腰三角形；
③若直线l与y轴的交点为Q，则|PQ|=1；
④若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围为（0，1）；
⑤当x1是函数g（x）=x2+lnx的零点时，|
| AO |
其中正确结论有
考点：命题的真假判断与应用
专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,导数的概念及应用,直线与圆
分析：画出y=m和y=|lnx|的图象，求出切线的斜率，求出交点的坐标M，N，即可得到MN的长，即可判断①；
通过图象观察分析，两切线垂直，即可判断②；求出P的坐标，再求PQ长，即可判断④；
由零点的定义，求出AO的长，运用函数的性质，即可判断⑤．
通过图象观察分析，两切线垂直，即可判断②；求出P的坐标，再求PQ长，即可判断④；
由零点的定义，求出AO的长，运用函数的性质，即可判断⑤．
解答：
解：对于①，由|lnx1|=|lnx2|，可得，
x1x2=1，且0＜x1＜1，x2＞1，且A（x1，-lnx1）
B（x2，lnx2），在A点处的切线斜率为-
，
在B点处的切线斜率为：
，
则设M（0，s），N（0，n），
则有
=-
，解得，s=1-lnx1，
由
=
，解得，n=lnx2-1，
则有|MN|=1-lnx1-（lnx2-1）=2-ln（x1x2）=2，则①对；
对于②，若△PAB为等腰三角形，即PA=PB，或PA=AB，或PB=AB，
若PA=PB，则P在AB的中垂线上，不可能；若PA=AB，易得P的横坐标小于1，不成立；
若PB=AB，则由于-
•
=-1，即有PA⊥BP，则不成立，故②错；
对于③，Q（0，m），由y+lnx1=1-
x和y-lnx2=
-1，x1x2=1，
解得交点P（
，1-lnx1-
），由于m=lnx2=-lnx1，
则有|PQ|=
=1．故③对；
对于④，d=m-（1-lnx1-
）=
=-1+
∈（0，1），故④对；
对于⑤，当x1是函数g（x）=x2+lnx的零点时，即有x12+lnx1=0，
|
|=
=
，由于0＜x1＜1，则取不到最小值，故⑤错．
故答案为：①③④
解：对于①，由|lnx1|=|lnx2|，可得，x1x2=1，且0＜x1＜1，x2＞1，且A（x1，-lnx1）
B（x2，lnx2），在A点处的切线斜率为-
| 1 |
| x1 |
在B点处的切线斜率为：
| 1 |
| x2 |
则设M（0，s），N（0，n），
则有
| s+lnx1 |
| -x1 |
| 1 |
| x1 |
由
| n-lnx2 |
| -x2 |
| 1 |
| x2 |
则有|MN|=1-lnx1-（lnx2-1）=2-ln（x1x2）=2，则①对；
对于②，若△PAB为等腰三角形，即PA=PB，或PA=AB，或PB=AB，
若PA=PB，则P在AB的中垂线上，不可能；若PA=AB，易得P的横坐标小于1，不成立；
若PB=AB，则由于-
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
对于③，Q（0，m），由y+lnx1=1-
| 1 |
| x1 |
| x |
| x2 |
解得交点P（
| 2x1 |
| 1+x12 |
| 2 |
| 1+x12 |
则有|PQ|=
(
|
对于④，d=m-（1-lnx1-
| 2 |
| 1+x12 |
| 1-x12 |
| 1+x12 |
| 2 |
| 1+x12 |
对于⑤，当x1是函数g（x）=x2+lnx的零点时，即有x12+lnx1=0，
|
| AO |
| x12+(lnx1)2 |
| x14+x12 |
故答案为：①③④
点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查两点的距离和点到直线的距离公式，考查函数的最值的求法，考查运算和判断能力，属于中档题和易错题．
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| ||
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