Question

数列{a_n}满足an+2-an+1=an+1-an=a1+1=1(n∈N*)，当x∈[a_n，a_n+1）时，f（x）=a_n-2，则方程2^f（x）=x的根的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

∵an+2-an+1=an+1-an=a1+1=1(n∈N*)，
∴数列{a_n}是首项为0，公差为1的等差数列
故a_n=n-1
又∵当x∈[n-1，n）时，f（x）=n-3，
当n=1时，x∈[0，1）时，f（x）=-2，
当n=2时，x∈[1，2）时，f（x）=-1，
当n=1时，x∈[2，3）时，f（x）=0，
当n=1时，x∈[3，4）时，f（x）=1，
…
又由方程2^f（x）=x的根
即为f（x）=log₂x的根
在同一坐标系中画出函数y=f（x）和y=log₂x的图象如下图，

由图可得y=f（x）和y=log₂x的图象有两个交点
故方程2^f（x）=x的根的个数为2个
故选C