Question

一个多面体的直观图、正(主)视图、侧(左)视图如图1和图2所示，其中正(主)视图、侧(左)视图均为边长为的正方形.
(Ⅰ)请在图2指定的位置画出多面体的俯视图；
(Ⅱ)若多面体底面对角线AC、BD交于点O，E为线段AA₁的中点，求证：OE∥平面A₁C₁C；
(Ⅲ)求该多面体的表面积．

Answer 1

解：（Ⅰ） 略
（Ⅱ）证明：如图，连结AC、BD，交于O点．
∵E为AA₁的中点，O为AC的中点．
∴在△AA₁C中，OE为△AA₁C的中位线，
∴OE∥A₁C.
∵OE?平面A₁C₁C，A₁C?平面A₁C₁C，
∴OE∥平面A₁C₁C.
(Ⅲ)多面体表面共包括10个面，S_ABCD＝a²，
S＝，S＝S＝S＝S＝，
S＝S＝S＝S＝，
所以该多面体的表面积S＝a²＋＋4×＋4×＝5a².

略