题目内容

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE
（2）求三棱锥P﹣CED的体积．

【答案】
（1）证明：连结AC、BD，交于点O，连结OE，

∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，

∴O是AC中点，

∵E是侧棱PA的中点，∴OE∥PC，

∵PC平面BDE，OE平面BDE，

∴PC∥平面BDE


（2）解：∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点，

∴PA⊥CD，AD⊥CD，

∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，

∵S△PDE= = = ，

∴三棱锥P﹣CED的体积VP﹣CED=VC﹣PDE= = = ．


【解析】（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，则OE∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．（2）三棱锥P﹣CED的体积VP﹣CED=VC﹣PDE，由此能求出结果．

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