题目内容
【题目】已知函数为自然对数的底数.
(1)求曲线在
处的切线方程;
(2)关于的不等式
在
上恒成立,求实数
的值;
(3)关于的方程
有两个实根
,求证:
.
【答案】(1);(2)
; (3)见解析.
【解析】(1)对函数求导得
,
∴,
又,
∴曲线在
处的切线方程为
,即
;
(2)记,其中
,
由题意知在
上恒成立,下求函数
的最小值,
对求导得
,
令,得
,
当变化时,
变化情况列表如下:
- | 0 | + | |
极小值 |
∴,
∴,
记,则
,
令,得
.
当变化时,
变化情况列表如下:
1 | |||
+ | 0 | - | |
极大值 |
∴,
故当且仅当
时取等号,
又,从而得到
;
(3)先证,
记,则
,
令,得
,
当变化时,
变化情况列表如下:
- | 0 | + | |
极小值 |
∴,
恒成立,即
,
记直线分别与
交于
,
不妨设,则
,
从而,当且仅当
时取等号,
由(2)知, ,则
,
从而,当且仅当
时取等号,
故,
因等号成立的条件不能同时满足,故.
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