Question

已知函数的图象过点（-1，-6），且函数 的图象关于y轴对称.
（1）求、的值及函数的单调区间；
（2）若函数在（-1，1）上单调递减，求实数的取值范围。

Answer 1

解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n="-3,"
由f(x)=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n,
则g(x)=f′(x)+6x=3x²+(2m+6)x+n;
而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m=-3,代入①得n=0.
于是f′(x)＝3x²-6x=3x(x-2).  由f′(x)>0得x>2或x<0,
故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；
由f′(x)<0得0<x<2,
故f(x)的单调递减区间是（0，2）.
（2）解： 由在(-1,1)上恒成立，得a≥3x²-6x对x∈(-1,1)恒成立. ∵-1<x<1,∴3x² -6x<9,∴只需a≥9.∴a≥9.

本试题主要考查了导数在函数研究中的应用。利用导数能求解函数的单调性和奇偶性问题，以及能根据函数单调区间，逆向求解参数的取值范围的求解问题。要利用导数恒小于等于零来解得 。