题目内容

已知函数f（x）=
1
2
ax2+2lnx，曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为4．
（1）求a的值及切线方程；
（2）点P（x，y）为曲线y=f′（x）上一点，求y-x的最小值．
（1）∵f(x)=
1
2
ax2+2lnx，∴f′(x)=ax+
2
x
…2分
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为4，
∴f'（1）=a+2=4…3分
∴a=2…4分
∴f（1）=1…5分
∴切线方程为y-1=4（x-1），即4x-y-3=0…7分
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）…8分
∵点P（x，y）为曲线y=f'（x）上一点，
∴y-x=x+
2
x
≥2
2
，当且仅当x=
2
时，等号成立．…12分
∴y-x的最小值为2
2
．…13分．
练习册系列答案
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设f0(x)=x•ex，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n-1（x）（n∈N+）．
（1）请写出fn（x）的表达式（不需证明）；
（2）求fn（x）的极小值；
（3）设gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，gn（x）的最大值为a，fn（x）的最小值为b，求a-b的最小值．
已知函数f（x）=ax3+bx2-2x+c在x=-2时有极大值6，在x=1时有极小值，
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．
曲线y=ax3+bx-1在点（1，f（1））处的切线方程为y=x，则a+b=（　　）
A．-3B．2C．3D．4
已知函数f(x)=
1
3
x3-
a+1
2
x2+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（Ⅲ）当a＞0时，求函数f（x）的零点个数．
已知函数f（x）满足f（x）=f（3x），当x∈[1，3），f（x）=lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．(
ln3
3
，
1
e
)		B．(
ln3
9
，
1
3e
)		C．(
ln3
9
，
1
2e
)		D．(
ln3
9
，
ln3
3
)
设定函数f（x）=
a
3
x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4．
（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．
已知函数f（x）=
1
3
x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（Ⅲ）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．
函数y=4x-x4，在[-1，2]上的最大、最小值分别为（　　）
A．、f（1），f（-1）B．f（1），f（2）C．f（-1），f（2）D．f（2），f（-1）

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