题目内容
已知函数f(x)满足f(x)=f(3x),当x∈[1,3),f(x)=lnx,若在区间[1,9)内,函数g(x)=f(x)-ax有三个不同零点,则实数a的取值范围是( )
A.(
| B.(
| C.(
| D.(
|
设x∈[3,9),则
∈[1,3)
∵x∈[1,3),f(x)=lnx,
∴f(
)=ln
,
∵函数f(x)满足f(x)=f(3x),
∴f(
)=f(x)=ln
,
∴f(x)=
,
∵在区间[1,9)内,函数g(x)=f(x)-ax有三个不同零点,
∴f(x)-ax=0在区间[1,9)上有三个解,即a=
有三个解,
则y=a与h(x)=
的图象有三个交点,
当x∈[1,3),h(x)=
=
,则h′(x)=
=0,解得x=e,
∴当x∈[1,e)时,h′(x)>0,当x∈(e,3)时,h′(x)<0即函数h(x)=
=
在[1,e)上单调递增,在(e,3)上单调递减,
∴当x=e处,函数h(x)=
=
在[1,3)上取最大值
,
当x∈[3,9),h(x)=
=
,则h′(x)=
=0,解得x=3e,
∴当x∈[3,3e)时,h′(x)>0,当x∈(3e,9)时,h′(x)<0即函数h(x)=
=
在[3,3e)上单调递增,在(3e,9)上单调递减,
∴当x=3e处,函数h(x)=
=
在[3,9)上取最大值
,
根据函数的单调性,以及h(1)=0,h(e)=
,h(3)=0,h(3e)=
,h(9)=
,画出函数的大值图象,
根据图象可知y=a与h(x)在[1,3)上一个交点,在[3,3e) 上两个交点,
∴在区间[1,9)内,函数g(x)=f(x)-ax有三个不同零点,则实数a的取值范围是(
,
).
故选:B.
x |
3 |
∵x∈[1,3),f(x)=lnx,

∴f(
x |
3 |
x |
3 |
∵函数f(x)满足f(x)=f(3x),
∴f(
x |
3 |
x |
3 |
∴f(x)=
|
∵在区间[1,9)内,函数g(x)=f(x)-ax有三个不同零点,
∴f(x)-ax=0在区间[1,9)上有三个解,即a=
f(x) |
x |
则y=a与h(x)=
f(x) |
x |
当x∈[1,3),h(x)=
f(x) |
x |
lnx |
x |
1-lnx |
x2 |
∴当x∈[1,e)时,h′(x)>0,当x∈(e,3)时,h′(x)<0即函数h(x)=
f(x) |
x |
lnx |
x |
∴当x=e处,函数h(x)=
f(x) |
x |
lnx |
x |
1 |
e |
当x∈[3,9),h(x)=
f(x) |
x |
ln
| ||
x |
1-ln
| ||
x2 |
∴当x∈[3,3e)时,h′(x)>0,当x∈(3e,9)时,h′(x)<0即函数h(x)=
f(x) |
x |
ln
| ||
x |
∴当x=3e处,函数h(x)=
f(x) |
x |
ln
| ||
x |
1 |
3e |
根据函数的单调性,以及h(1)=0,h(e)=
1 |
e |
1 |
3e |
ln3 |
9 |
根据图象可知y=a与h(x)在[1,3)上一个交点,在[3,3e) 上两个交点,
∴在区间[1,9)内,函数g(x)=f(x)-ax有三个不同零点,则实数a的取值范围是(
ln3 |
9 |
1 |
3e |
故选:B.

练习册系列答案
相关题目