题目内容

已知函数f(x)满足f(x)=f(3x),当x∈[1,3),f(x)=lnx,若在区间[1,9)内,函数g(x)=f(x)-ax有三个不同零点,则实数a的取值范围是(  )
A.(
ln3
3
1
e
)
B.(
ln3
9
1
3e
)
C.(
ln3
9
1
2e
)
D.(
ln3
9
ln3
3
)
设x∈[3,9),则
x
3
∈[1,3)
∵x∈[1,3),f(x)=lnx,
∴f(
x
3
)=ln
x
3

∵函数f(x)满足f(x)=f(3x),
∴f(
x
3
)=f(x)=ln
x
3

∴f(x)=
lnx,1≤x<3
ln
x
3
,3≤x<9

∵在区间[1,9)内,函数g(x)=f(x)-ax有三个不同零点,
∴f(x)-ax=0在区间[1,9)上有三个解,即a=
f(x)
x
有三个解,
则y=a与h(x)=
f(x)
x
的图象有三个交点,
当x∈[1,3),h(x)=
f(x)
x
=
lnx
x
,则h′(x)=
1-lnx
x2
=0,解得x=e,
∴当x∈[1,e)时,h′(x)>0,当x∈(e,3)时,h′(x)<0即函数h(x)=
f(x)
x
=
lnx
x
在[1,e)上单调递增,在(e,3)上单调递减,
∴当x=e处,函数h(x)=
f(x)
x
=
lnx
x
在[1,3)上取最大值
1
e

当x∈[3,9),h(x)=
f(x)
x
=
ln
x
3
x
,则h′(x)=
1-ln
x
3
x2
=0,解得x=3e,
∴当x∈[3,3e)时,h′(x)>0,当x∈(3e,9)时,h′(x)<0即函数h(x)=
f(x)
x
=
ln
x
3
x
在[3,3e)上单调递增,在(3e,9)上单调递减,
∴当x=3e处,函数h(x)=
f(x)
x
=
ln
x
3
x
在[3,9)上取最大值
1
3e

根据函数的单调性,以及h(1)=0,h(e)=
1
e
,h(3)=0,h(3e)=
1
3e
,h(9)=
ln3
9
,画出函数的大值图象,
根据图象可知y=a与h(x)在[1,3)上一个交点,在[3,3e) 上两个交点,
∴在区间[1,9)内,函数g(x)=f(x)-ax有三个不同零点,则实数a的取值范围是(
ln3
9
1
3e
).
故选:B.
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