题目内容
【题目】现有一个以
、
为半径的扇形池塘，在
、
上分别取点
、
，作
、
分别交弧
于点
、
，且
，现用渔网沿着
、
、
、
将池塘分成如图所示的养殖区域.已知
， 
， 
（
）.
（1）若区域Ⅱ的总面积为
，求
的值；
（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当
为多少时，年总收入最大？
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）本问考查解三角函数的实际应用，由
及
可知
，根据条件易证
，所以
，由
可以求出
，所以区域Ⅱ的总面积为
，则
，可以求出
的值；（2）本问考查函数的最值问题，区域Ⅰ的面积可以根据扇形面积公式求得，区域Ⅱ的面积第（1）问中已经求出，区域Ⅲ的面积可以用1/4圆的面积减去区域Ⅰ、Ⅱ的面积，于是得到年收入函数，利用导数求函数的最大值即可得出年收入的最大值.
试题解析：（1）因为
， 
，所以
.
因为
， 
， 
，
所以
， 
.
又因为
，所以
.
所以
，
又
所以
所以
（
）.
由
得
， 
， 
.
（2）因为
，所以
.
记年总收入为
万元，
则
（
），
所以
，令
，则
.
当
时， 
；当
时， 
.
故当
时， 
有最大值，即年总收入最大.
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