题目内容

【题目】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.

(1)求k的取值范围;

(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.

【答案】见解析

【解析】解:(1)由题设可知直线l的方程为y=kx+1.

因为直线l与圆C交于两点,所以<1,

解得<k<.

所以k的取值范围为.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).

将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,

整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.

所以x1+x2,x1x2.

=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.

由题设可得+8=12,解得k=1,

所以直线l的方程为y=x+1.

故圆心C在直线l上,所以|MN|=2.

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