Question

【题目】已知函数f（x）= 是奇函数，且f（2）= ．
（1）求实数m和n的值；
（2）判断函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴ =﹣ = ．

比较得n=﹣n，n=0．

又f（2）= ，∴ = ，解得m=2．

即实数m和n的值分别是2和0

（2）解：函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数．

证明如下：由（1）可知f（x）= = + ．

设x1＜x2＜0，

则f（x1）﹣f（x2）= （x1﹣x2）

= （x1﹣x2） ．

当x1＜x2≤﹣1时，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数；

当﹣1＜x1＜x2＜0时，

x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣1＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴函数f（x）在（﹣1，0）上为减函数

【解析】（1）利用函数是奇函数的定义，列出方程，比较求解n，利用f（2）= ，求解m即可．（2）利用函数的单调性的定义判断求解即可．
【考点精析】掌握奇偶性与单调性的综合是解答本题的根本，需要知道奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．