Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{2}sin（x+φ），0＜φ＜\frac{π}{2}$，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知$f（α-\frac{π}{4}）+f（α+\frac{π}{4}）=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，且$\frac{3π}{2}$＜α＜2π，求sinα-cosα．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=1求出φ的值即得三角函数的解析式；
（2）根据三角函数值求出角的取值范围，再计算三角函数值．

解答 解：（1）∵$f（0）=\sqrt{2}sinφ=1$，∴$sinφ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又∵$0＜φ＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{4}$，
∴$f（x）=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$；
（2）∵$f（α-\frac{π}{4}）+f（α+\frac{π}{4}）=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$
∴$\sqrt{2}sinα+\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{2}）=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，
∴$sinα+cosα=\frac{4}{5}$，
∴${（sinα+cosα）^2}=\frac{16}{25}$，
∴$2sinα•cosα=-\frac{9}{25}$，
∴${（sinα-cosα）^2}=1-2sinαcosα=\frac{34}{25}$；
又$\frac{3π}{2}＜α＜2π$，
∴$sinα-cosα=-\frac{{\sqrt{34}}}{5}$．

点评 本题考查了求三角函数的解析式以及根据三角函数值求值的应用问题，是中档题目．