Question

14．集合A={x|x=a+$\sqrt{2}$b，a、b∈Z}，若x₁，x₂∈A，证明x₁x₂∈A．

Answer 1

分析 利用元素与集合的关系、多项式的乘法运算即可得出．

解答 证明：设x₁，x₂∈A，
取x₁=$a+\sqrt{2}b$，（a，b∈Z），x₂=$m+\sqrt{2}n$，（m，n∈Z）．
∵a，b∈Z，m，n∈Z．
∴am+2bn∈Z，an+bm∈Z．
则x₁x₂=（$a+\sqrt{2}b$）（$m+\sqrt{2}n$）
=（am+2bn）+$\sqrt{2}$（an+bm）∈A．

点评 本题考查了元素与集合的关系、多项式的乘法运算性质，考查了几十年令，属于基础题．