题目内容
【题目】点是抛物线
:
的焦点,动直线
过点
且与抛物线
相交于
,
两点.当直线
变化时,
的最小值为4.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过点,
分别作抛物线
的切线
,
,
与
相交于点
,
,
与
轴分别交于点
,
,求证:
与
的面积之比为定值(
为坐标原点).
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)证明直线的斜率为时不合题意,当直线的斜率不为
时,设直线
的方程为
,与抛物线方程联立,消元,用根与系数的关系得出
两点横坐标的关系,利用焦点弦长计算公式求
,利用二次函数的性质得出
的值,进而得出抛物线的方程;
(2)用两点的坐标表示直线
,
的方程,再求点
的横坐标,根据三角形的面积公式求比值,即可得出结论.
(1)设,由已知得当直线
的斜率为
时,
与
有且只有一个交点,此时不合题意
设直线的方程为
联立直线与抛物线
的方程,并消去
,得
,则
显然当时,
取得最小值,则
故抛物线的标准方程为
(2)证明:不妨设
易得切线,将
代入,整理得
进而可知
同理可得
联立,消去
,整理得到
即点的横坐标为
故
故与
的面积之比为定值
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