Question

4．记x=（1+2）（1+2²）（1+2⁴）（1+2⁸）…（1+2ⁿ），且x+1=2¹²⁸，求n的值．

Answer 1

分析 在等式的两边同乘以（1-2），结合平方差公式，化简可得x，再由条件x+1=2¹²⁸，就是可得n=64．

解答 解：x=（1+2）（1+2²）（1+2⁴）（1+2⁸）…（1+2ⁿ），
则（1-2）x=（1-2）（1+2）（1+2²）（1+2⁴）（1+2⁸）…（1+2ⁿ），
即为-x=（1-2²）（1+2²）（1+2⁴）（1+2⁸）…（1+2ⁿ）
=（1-2⁴）（1+2⁴）（1+2⁸）…（1+2ⁿ）
=（1-2⁸）（1+2⁸）…（1+2ⁿ）
=（1-2¹⁶）…（1+2ⁿ）=1-2²ⁿ，
即有x=2²ⁿ-1，
由x+1=2¹²⁸，可得x=2¹²⁸-1，
即有2n=128，
即n=64．

点评 本题考查代数式的化简和求值，考查平方差公式的运用，属于基础题．