题目内容
12.已知函数y=2cos(2x+$\frac{4}{3}$π).(1)在该函数图象的对称轴中,求离y轴最近的那条对称轴的方程;
(2)将该函数的图象向右平移φ个长度单位后,图象关于原点对称,求φ的最小正值;
(3)求此函数的单调增区间.
分析 (1)由条件利用余弦函数的图象的对称性,求得离y轴最近的那条对称轴的方程.
(2)由条件利用y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的奇偶性,求得φ的最小值.
(3)由条件利用余弦函数的单调性求得函数的单调增区间.
解答 解:(1)对于函数y=2cos(2x+$\frac{4}{3}$π),令2x+$\frac{4}{3}$π=kπ,求得 x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{2π}{3}$,
可得函数的图象的对称轴方程为 x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{2π}{3}$,k∈Z.
故当k=1时,得到离y轴最近的那条对称轴的方程为x=-$\frac{π}{6}$.
(2)把函数y=2cos(2x+$\frac{4}{3}$π)的图象向右平移φ个长度单位后,得到函数y=2cos(2x-2φ+$\frac{4}{3}$π)的图象,
再根据所得图象关于原点对称,可得-2φ+$\frac{4}{3}$π=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,求得φ=-$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{5π}{12}$,故φ的最小值为$\frac{5π}{12}$.
(3)令2kπ-π≤2x+$\frac{4π}{3}$≤2kπ,k∈Z,求得kπ-$\frac{7π}{6}$≤x≤kπ-$\frac{2π}{3}$,
故函数的增区间为[kπ-$\frac{7π}{6}$,kπ-$\frac{2π}{3}$],k∈Z.
点评 本题主要考查余弦函数的图象的对称性、余弦函数的单调性、奇偶性,y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题.
练习册系列答案
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7.一个等比数列的公比q≠1,则以下选项正确的是( )
A. | S${\;}_{2n}^{2}$=Sn•S3n | B. | S${\;}_{2n}^{2}$+S${\;}_{3n}^{2}$=Sn(S2n+S3n) | ||
C. | S${\;}_{n}^{2}$+S${\;}_{2n}^{2}$=Sn(S2n+S3n) | D. | S${\;}_{n}^{2}$+S${\;}_{3n}^{2}$=S2n(Sn+S3n) |