题目内容
【题目】已知为数列
的前n项和,
,当n≥2时,
,又
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列落在区间
内的项数为
,求数列
的前n项和
.
【答案】(1) an=n;(2)(n﹣1)2n+1.
【解析】
(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式;(2)利用(1)的结论,进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和.
(1)已知Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,当n≥2时,an﹣1=2an﹣an+1,
即:2an=an﹣1+an+1,
所以数列{an}为等差数列.
又=
,
解得:an=n.
(2)数列{an}落在区间内的项数为bk,
所以:第一项为2k﹣1,最后一项为2k﹣1,
所以,
则:,
所以(n﹣1)2n﹣2+n2n﹣1,①
(n﹣1)2n﹣1+n2n②,
①﹣②得:
﹣Tn=(10+21+22+…+2n)﹣n2n,
整理得:,
=(n﹣1)2n+1.
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