题目内容

直线x+
3
y
-2=0与圆x2+y2=4相交于C1的圆心为(3,0),且经过点A(4,1).
(1)求圆C1的方程;
(2)若圆C2与圆C1关于直线l对称,点B、D分别为圆C1、C2上任意一点,求|BD|的最小值;
(3)已知直线l上一点M在第一象限,两质点P、Q同时从原点出发,点P以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动,点Q以每秒2
2
个单位沿射线OM方向运动,设运动时间为t秒.问:当t为何值时直线PQ与圆C1相切?
分析:(1)根据圆C1的圆心为(3,0),求得半径,从而求得圆的标准方程;
(2)求出圆C1上的点到直线l的最短距离,根据圆C2与圆C1关于直线l对称,可求|BD|的最小值;
(3)设运动时间为t秒,依据题意求得PQ的坐标,可得P、Q的斜率,由点斜式求的PQ的方程,再根据当直线PQ与圆C1相切时,圆心C1到直线PQ的距离等于半径,求得t的值.
解答:解:(1)由题意可得,圆C1的圆心为(3,0),半径为
(4-3)2+1
=
2

∴圆C1的方程为 (x-3)2+y2=2.;
(2)C1到直线l的距离d=
|3-0|
1+1
=
3
2
2

∴圆C1上的点到直线l的最短距离为
3
2
2
-
2
=
2
2

∵圆C2与圆C1关于直线l对称,
∴|BD|min=
2
2
=
2

(3)设运动时间为t秒,则由题意可得|OP|=t,|OQ|=2
2
t,则点P(t,0).
由于点Q在直线l上,设Q(m,n),m>0,n>0,则有m2+n2=(2
2
t)2,解得m=2t,即Q(2t,2t).
故PQ的斜率为
2t-0
2t-t
=2,
所以PQ的方程为y-0=2(x-t),即2x-y-2t=0.
当直线PQ与圆C1相切时,圆心C1到直线PQ的距离等于半径,即
|2×3-0-2t|
22+1
=
2

解得t=3±
10
2

故当t=3±
10
2
时,直线PQ与圆C1相切.
点评:本题主要考查圆的标准方程,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于中档题.
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