Question

1．已知点A（-3，5），B（2，15），直线l：3x-4y+4=0．
（1）求过A点与直线l平行的直线方程；
（2）若P点在直线l上，求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）设过A点与直线l平行的直线方程为3x-4y+m=0，把点A（-3，5）代入解得m即可得出．
（2）设点A关于直线l的对称点M（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{3×\frac{x-3}{2}-4×\frac{y+5}{2}+4=0}\\{\frac{y-5}{x+3}×\frac{3}{4}=-1}\end{array}\right.$，解得M．连接BM交直线l于点P，则点P即为所求．

解答 解：（1）设过A点与直线l平行的直线方程为3x-4y+m=0，把点A（-3，5）代入，可得-9-20+m=0，解得m=29．
∴过A点与直线l平行的直线方程为3x-4y+m=0．
（2）设点A关于直线l的对称点M（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{3×\frac{x-3}{2}-4×\frac{y+5}{2}+4=0}\\{\frac{y-5}{x+3}×\frac{3}{4}=-1}\end{array}\right.$，解得M（3，-3）．
连接BM交直线l于点P，则点P即为所求．
∴|PA|+|PB|的最小值=|BM|=$\sqrt{（3-2）^{2}+（-3-15）^{2}}$=5$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了线段的垂直平分线的性质、两点之间的距离公式、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．