Question

10．已知点A（2，4）在抛物线y²=2px上，且抛物线的准线过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 由题意求出p，得到抛物线的准线方程，进一步求出双曲线的半焦距，结合离心率求得a，再由隐含条件求出b，则双曲线方程可求．

解答 解：∵点A（2，4）在抛物线y²=2px上，
∴16=4p，即p=4．
∴抛物线的准线方程为x=-2．
又抛物线的准线过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，
则c=2，而$e=\frac{c}{a}=2$，∴a=1，
则b²=c²-a²=4-1=3．
∴双曲线方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故答案为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查了双曲线方程的求法，是基础题．