题目内容
【题目】已知命题甲:对任意实数,不等式
恒成立;命题乙:已知
满足
,且
恒成立.
(1)分别求出甲乙为真命题时,实数的取值范围;
(2)求实数的取值范围,使命题甲乙中有且只有一个真命题.
【答案】(1)甲为真命题时,;乙为真命题时,
(2)
或
【解析】
(1)甲为真命题时,先转化为一元二次不等式恒成立问题,根据二次函数图象解得实数的取值范围,乙为真命题时,利用基本不等式求得
最小值,再根据恒成立得实数
的取值范围;
(2)分类求交集:甲真乙假与乙真甲假,最后求并集得结果.
(1)
当时,
成立;
当时,要使
恒成立,需
综上,甲为真命题时,;
(当且仅当
时取等号)
恒成立,
综上, 乙为真命题时,
(2)命题甲乙中有且只有一个真命题,即甲真乙假与乙真甲假,
所以或
即或

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