Question

【题目】已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且a1＝1，anan＋1＝2Sn.(n∈N*)

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)求数列{n·}的前n项和Tn.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) an＝n，n∈N*；(Ⅱ) (n－1)·2n＋1＋2.

【解析】试题分析: （Ⅰ）当n=1时，求出a2=2，当n≥2时，求出an+1﹣an﹣1=2，由此能求出an=n，（Ⅱ）由an=n，n·2an =n2n，利用错位相减法能求出数列{ n·2an }的前n项和．

试题解析：

(Ⅰ)∵数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且a1＝1，anan＋1＝2Sn.(n∈N*)，

∴当n＝1时，a1a2＝2a1，解得a2＝2，

当n≥2时，an－1an＝2Sn－1，an(an＋1－an－1)＝2an，

∵an＞0，∴an＋1－an－1＝2，

∴a1，a3，…，a2n－1，…，是以1为首项，2为公差的等差数列，a2n－1＝2n－1，

a2，a4，…，a2n，…，是以2为首项，2为公差的等差数，a2n＝2n，∴an＝n，n∈N*.

(Ⅱ)∵an＝n，n·2an＝n·2n，

∴数列{n·2an}的前n项和：

Tn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①

2Tn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②.

②－①，得：Tn＝n·2n＋1－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n·2n＋1－＝(n－1)·2n＋1＋2.