Question

2．求函数y=（log₂x）²+log${\;}_{\frac{1}{8}}$x³-2，x∈（$\frac{1}{4}$，2）的值域．

Answer 1

分析 化简原函数解析式得到y=$（lo{g}_{2}x）^{2}-lo{g}_{2}x-2$，可令log₂x=t，由x的范围可得到t的范围（-2，1），并得到y=t²-t-2，从而求该二次函数在区间（-2，1）上的值域即可．

解答 y=$（lo{g}_{2}x）^{2}+lo{g}_{\frac{1}{8}}{x}^{3}-2$=$（lo{g}_{2}x）^{2}-lo{g}_{2}x-2$；
令log₂x=t，t∈（-2，1）；
∴$y={t}^{2}-t-2=（t-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{4}≥-\frac{9}{4}$；
又t=-2时，y=4；t=1时，y=-2；
∴$-\frac{9}{4}≤y＜4$；
∴原函数的值域为[$-\frac{9}{4}，4$）．

点评 考查函数值域的概念，对数的换底公式，对数函数的单调性，以及用换元的方法求函数的值域，掌握二次函数值域的求法．