题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是直角梯形,侧棱
底面
,
垂直于
和
,
为棱
上的点,
,
.
(1)若为棱
的中点,求证:
//平面
;
(2)当时,求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值;
(3)在第(2)问条件下,设点是线段
上的动点,
与平面
所成的角为
,求当
取最大值时点
的位置.
【答案】(1)见解析;(2);(3)即点N在线段CD上且
【解析】
(1)取线段SC的中点E,连接ME,ED.可证是平行四边形,从而有
,则可得线面平行;
(2)以点A为坐标原点,建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,求出两平面与平面
的法向量,由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值;
(3)设,其中
,求出
,由MN与平面
所成角的正弦值为
与平面
的法向量夹角余弦值的绝对值可求得结论.
(1)证明:取线段SC的中点E,连接ME,ED.
在中,ME为中位线,∴
且
,
∵且
,∴
且
,
∴四边形AMED为平行四边形.
∴.
∵平面SCD,
平面SCD,
∴平面SCD.
(2)解:如图所示以点A为坐标原点,建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则,
,
,
,
,
由条件得M为线段SB近B点的三等分点.
于是,即
,
设平面AMC的一个法向量为,则
,
将坐标代入并取,得
.
另外易知平面SAB的一个法向量为,
所以平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦为.
(3)设,其中
.
由于,所以
.
所以,
可知当,即
时分母有最小值,此时
有最大值,
此时,,即点N在线段CD上且
.
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