题目内容
【题目】等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.
(1)求r的值;
(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*),证明:对任意的n∈N*,不等式·
·…·
>
成立.
【答案】见解析
【解析】(1)由题意,Sn=bn+r,当n≥2时,Sn-1=bn-1+r.
所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).
由于b>0且b≠1,
所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列.
又a1=b+r,a2=b(b-1),
所以=b,即
=b,解得r=-1.
(2)由(1)及b=2知an=2n-1,因此bn=2(log2an+1)=2n(n∈N*),
所证不等式为·
·…·
>
.
①当n=1时,左式=,右式=
,
左式>右式,所以结论成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,即·
·…·
>
,
则当n=k+1时,·
·…·
·
>
·
=
.
要证当n=k+1时结论成立,只需证≥
,
即证≥
.
由基本不等式得=
≥
成立,
故≥
成立,
所以,当n=k+1时,结论成立.
由①②可知,n∈N*时,不等式·
·…·
>
成立.
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练习册系列答案
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【题目】葫芦岛市某高中进行一项调查:2012年至2016年本校学生人均年求学花销(单位:万元)的数据如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年求学花销 | 3.2 | 3.5 | 3.8 | 4.6 | 4.9 |
(1)求关于
的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2012年至2016年本校学生人均年求学花销的变化情况,并预测该地区2017年本校学生人均年求学花销情况.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: