题目内容
设函数是定义域为
的奇函数.
(1)求的值;
(2)若,且
在
上的最小值为
,求
的值.
(3)若,试讨论函数
在
上零点的个数情况。
(1) ;(2)
(3) 当
时
在
上有一个零点;当
时
在
上无零点.
解析试题分析:(1) 由奇函数的性质求,可用特殊值或用恒等式对应项系数相等,如果0在奇函数的定义域内,则一定有
,如果不在可任取定义域内两个相反数代入求
.
(2)由求出
,代入得
,换元
,注意自变量的取值范围,每设出一个子母都要把它取的范围缩到最小以有利于解题, 所以得到
得到一个新的函数
,
利用二次函数函数单调性求最值方法得到
,二次函数在区间上的最值在端点处或顶点处,遇到对称轴或区间含有待定的字母,则要按对称轴在不在区间内以及区间中点进行讨论.
(3)由函数零点判定转化为二次方程根的判定,即在
解个数情况,这个解起来比较麻烦,所以可以用函数单调性先来判定零点的个数,即
在
上为增函数,也就是在
这个区间上是一一映射,
时的每个值方程
只有一个解.
试题解析:
(1)为
上的奇函数
即
(2)由(1)知解得
或
(舍)
且
在
上递增
令则
所以令,
且
因为的对称轴为
Ⅰ当时
解得(舍)
Ⅱ当时
解得
综上:
(3)由(2)可得:
令则
即求,
零点个数情况
即求在
解个数情况
由得
,
所以在
上为增函数
当时
有最小值为
所以当时
方程在
上有一根,即函数有一个零点
当时
方程在
上无根,即函数无零点
综上所述:当时
在

练习册系列答案
相关题目