题目内容
【题目】为解决城市的拥堵问题,某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流,已知穿城公路MON自西向东到达城市中心后转向
方向,已知∠MON=
,现准备修建一条城市高架道路L,L在MO上设一出入口A,在ON上设一出口B,假设高架道路L在AB部分为直线段,且要求市中心
与AB的距离为10km.
(1)求两站点A,B之间的距离;
(2)公路MO段上距离市中心30km处有一古建筑群C,为保护古建筑群,设立一个以C为圆心,5km为半径的圆形保护区.因考虑未来道路AB的扩建,则如何在古建筑群和市中心
之间设计出入口A,才能使高架道路及其延伸段不经过保护区?
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)过O作直线OE⊥AB于E,则OE=10,设∠EOA=,可求∠EOB=
﹣
,(
),可得AE=10tan
,BE=10tan(
﹣
),可求AB=
,又
,结合
,可得cos
,可求两出入口之间距离的最小值为20(
).
(2)设切点为F,以为坐标原点,以
所在的直线为
轴,建立平面直角坐标系
,设直线AB的方程为y=kx+t(k>0),可求t=20k,或t=60k,可求A(﹣20,0),此时OA=20,又由(1)可知当
时,OA=10
,综上即可得解.
(1)过作直线OE⊥AB于E,则OE=10,设∠EOA=α,则∠EOB=
﹣α,(
),
故AE=10tan,BE=10tan(
﹣
),
AB=10tan+10tan(
﹣
)=10(
)=
,
又cos=cos
(﹣
cos
+
sin
)=
由,可得:2
﹣
,
故cos,当且仅当2
﹣
,即
=
时取等号,
此时,AB有最小值为20(),即两出入口之间距离的最小值为20(
).
(2)由题意可知直线AB是以为圆心,10为半径的圆
的切线,根据题意,直线AB与圆C要相离,其临界位置为直线AB与圆C相切,
设切点为F,此时直线AB为圆与圆
的公切线,因为,出入口A在古建筑群和市中心
之间,
如图所示,以为坐标原点,以
所在的直线为
轴,建立平面直角坐标系
,
由CF=5,OE=10,因为圆的方程为x2+y2=100,圆
的方程为(x+30)2+y2=25,
设直线AB的方程为y=kx+t(k>0),
则:,所以两式相除可得:
=2,所以t=20k,或t=60k,
所以,此时A(﹣20,0)或A(﹣60,0)(舍去),此时OA=20,
又由(1)可知当时,OA=10
,综上,OA
.
即设计出入口A离市中心的距离在10
km到20km之间时,才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】(本题满分12分)
今年十一黄金周,记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意,得到如下的列联表:
性别与对景区的服务是否满意 单位:名
男 | 女 | 总计 | |
满意 | 50 | 30 | 80 |
不满意 | 10 | 20 | 30 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
(1)从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样,抽取一个容量为5的样本,问样本中满意与不满意的女游客各有多少名?
(2)从(1)中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈,求选到满意与不满意的女游客各一名的概率;
(3)根据以上列联表,问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关
注:
临界值表:
P( | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |